证 明 题（理工数学Ⅱ·2022年·全国统考）

设函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f'' (x)≥0的充要条件是：对任意不同的实数a,b,f((a+b)/2)≤1/(b-a)f(x)dx.

解答提示

必要性：令F(x)=(x-a)f((a+x)/2)-f(t)dt,F(a)=0,F'(x)=f((a+x)/2)+(x-a) f'((a+x)/2)-f(x)=1/2 (x-a) f'((a+x)/2)-[f(x)-f((a+x)/2)] =1/2 (x-a) f'((a+x)/2)-1/2 (x-a) f'(ξ)=1/2(x-a)[f'((a+x)/2)-f'(ξ)]，其中ξ∈((a+x)/2,x).因为f''(x)≥0⟹f'(x)单调递增⟹F' (x)≤0⟹F(x)单调递减，F(b)≤F(a)=0，故不等式成立；充分性：（反证法）假设∃x_0，使得f''(x_0 )<0，由f''(x)的连续性以及极限的局部保号性可得：∃x0的小领域(c,d)使得...

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