证 明 题（理工数学Ⅱ·1988年·全国统考）
设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.
(1)求
1/(4a2)
[f(t+a)-f(t-a)]dt;
(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.
解答提示
(1)因为f(x)在(-∞,+∞)上有连续导数，由积分中值定理知存在ξ∈(-a,a)，使1/(4a2 ) [f(t+a)-f(t-a)] dt=1/(4a2 )∙[f(ξ+a)-f(ξ-a)]∙2a =1/2a∙[f(ξ+a)-f(ξ-a)],又由题设知f(x)在[ξ-a,ξ+a]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在η∈(ξ-a,ξ+a)，使1/2a∙[f(ξ+...
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设Σ为空间区域{(x,y,z)|x2 + 4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分∬Σx2dydz + y2dzdx + z2dxdy=.
设D⊂R2是有界单连通闭区域，I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算，其中∂D1是D1的正向边界.
已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=.
f(x)满足∫f(x)/dx = 1/6·x2 - x + C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A.
曲线(x2 + y2)2 = x2 - y2 (x≥0,y≥0)与x轴围成的区域为D，求xydxdy.
设D由y=sinπx(0≤x≤1)与x轴转成，则D绕x旋转的旋转体体积为.
设有界区域D是圆x2 + y2 = 1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分(x2 - y2)dxdy.
计算(sin(x3y)+x2y)dxdy，其中D由y=x3,y=-1和x=1围成的有限闭区域.
设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线，起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上，曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6)，求曲线Γ的长度.