证 明 题（高等数学·2003年·重庆大学）

两实变量x与y之间存在“变化关系”，且“变化关系”满足方程：

e^{-1/3 x+2y}+(e^10/3 - 1)∙e^{-1/3 x+y} - e^{x^3+2x^2-2x} =0.

(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式)：

y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?

提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令：e^10/3-1=2a，可便于计算分析处理.

(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：

dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?

(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.

提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”：x_k=? [其中，f(x_k )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”x_l[其中，f' (x_l' )=0,(l=1,2)]

(ii)然后，考察函数f(x)的渐近性质： f(x)|_x→±∞→?

(iii)最后，利用(i)和(ii)的结果，便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.

[注意:“零点”方程f(x_k )=0最终可化为关于x_k的三次方程，可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

解答提示

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