2003年北京大学考博试题-代数-代数式-行列式

证明题（线性代数·2003年·北京大学）

设A=(a_ij)_n×n，且行列式

≠0,1≤k≤n.

证明存在下三角形矩阵B_n×n，使BA为上三角形矩阵。

解答提示

暂无答案

代数

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且an=0， bn=1，cn=∞，则必有【】

2000年全国统考考研试题72

2003年全国统考考研试题73

设a≠，则ln= .

2004年全国统考考研试题75

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=.

代数式

设a1,a2,…,an是n个实数，证明：|ai|≤.

计算行列式的值：Dn=

2005年重庆大学考研试题6412

设f(x)=x3+6x2+3px+8，试确定p的值使f(x)有重根并求其根.

设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A* |等于【】

设4阶矩阵A=(α,γ2,γ3,γ4 ),B=(β,γ2,γ3,γ4)，其中α,β,γ2,γ3,γ4均为四维列向量，且已知行列式|A|=4,|B|=1，则行列式|A+B|=.

设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，AT的转置矩阵，当A*=AT时，证明|A|≠0.

设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，|A|<0，求|A+E|.

4阶行列式的值等于【】

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则【】

行列式

多项式f(x)=中x3项的系数为.

五阶行列式D5==。

A为4阶方阵，且|A|=-2，则||A|A|=【】

设A=(aij)n×n，且行列式≠0,1≤k≤n.证明存在下三角形矩阵Bn×n，使BA为上三角形矩阵。

三阶行列式有2个元素为4，其余为±1，则此行列式可能的最大值为.

设γ1,γ2,α,β皆为三维列向量，A=(α,3γ1,3γ2 ),B=(β,γ1,2γ2)且|A|=18,|B|=4，则|A-B|=.

若不可约多项式p(x)是f(k)(x)的s重因子，且p(x)|f(x)，那么p(x) f(x)的s+k重因子.

证明：如果d(x)|f(x),d(x)|g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.

设A=是实数域上的矩阵，证明：(1)如果|aii|>∑j≠i|aij|,i=1,2,…,n则|A|≠0;(2)如果aii>∑j≠i|aij|,i=1,2,…,n则|A|>0.

设A∈Cn×n,W={f(A):f(x)∈P[x]},m(x)是A的最小多项式，证明：W的维数=∂(m(x))，其中∂(m(x))表示m(x)的最高次数.