证 明 题（数学·2021年5月·阿里巴巴）
在一个虚拟的世界中，每个居民（设想为没有大小的几何点）依次编号为1,2,⋯.为了抗击某种疫情，这些居民要接种某疫苗，并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为1/4的圆周。为了安全,要求第m号居民和第n居民之间的距离dm,n满足
(m+n)dm,n≥1
这里我们考虑的是圆周上的距离，也就是两点间劣弧的弧长。那么
1.选择题(4分)下列选项（ ）符合实际情况。
A 这个留观室最多能容纳8个居民
B 这个留观室能容纳的居民个数有大于8的上限:
C 这个留观室可以容纳任意多个居民。
2.证明题(6分)证明你的论断。
解答提示
1.选项C符合实际情况.2.我们可以按下述方式安排第1,2,⋯号居民的位置.首先，任意安排第1号居民的位置。对n≥2,若第1,2,⋯,n-1号居民的位置已经被安排好，我们考虑第n号居民不能在哪些位置。对于1≤m≤n-1,由dm,n≥1/(m+n),我们知道，从第m号居民的位置开始，沿顺、逆时针方向各走1/(m+n)的距离，所形成的长度为2/(m+n)的圆弧内部是不可以安排第n号居民的.而这些圆弧的总长度2/(n+1)+2/(n+2)+⋯+2...
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已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=.
函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导，f(x)存在，f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的，求证：f′(x)=0.