证 明 题（数学·2022年8月2日·东南地区）
给定整数m,n≥2.将一个m行n列的方格表S的每个格子染上红、蓝两色之一，使下述条件成立:对于同一行的两个格子，若它们均被染了红色，则它们所属的两列中，一列的所有格子都被染了红色，另一列中有格子被染了蓝色，求不同的染色方式的数目.
解答提示
用(i,j)表示第i行与第j列的交叉格，1≤i≤m,1≤j≤n.分以下三种情况：(1) S中没有一列全为红格.此时，由条件知S的每行至多有一个红格。因此，每行的染色方式有n+1种(全为蓝格的情况1种，恰有一个红格的情况n种)，由乘法原理，共得到(n+1)m种染色方式.排除掉其中红格全集中在同一列上的那些情况(n种)，共有(n+1)m-n种符合要求的染色方式.(2) S中恰有一列全为红格.设第k列全为红格，其中k∈{1,2,⋯,n}.考虑S中剩余的格子组成的m行n-1列的方格表S(k)，则S(k)中没有一列全为红格.与情况(1)类似，可知S(k)的每行至多有一个红格，进而S(k)有nm-(n-1)种...
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已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【 】。
函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
设函数 f(x) = cos (ωx + π/6 ) 在 [−π, π] 的图像大致如下图, 则 f(x) 的最小正周期为【 】。
已知 α ∈ (0, π), 且 3cos2α − 8cosα = 5, 则 sinα =【 】
已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO1，则球 O 的表面积为 【 】
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已知集合 A = {x | x2 −3x−4 < 0},B = {−4,1,3,5}, 则 A∩B=【 】
已知集合 U = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}, A = {−1, 0, 1}, B = {1, 2}, 则 CU (A ∪ B) =【 】
已知集合 A = {x| |x| < 3, x ∈ Z}, B = {x| |x| > 1, x ∈ Z}, 则 A ∩ B =【 】
执行如图的程序框图, 若输入 k = 0, a = 0, 则输出的 k 为【 】
已知集合 A = {1, 2, 3, 5, 7, 11}, B = {x | 3 < x < 15}, 则 A ∩ B 中元素的个数为【 】
已知集合 A = {(x, y) | x, y ∈ N∗, y ⩾ x} , B = {(x, y) | x + y = 8 }, 则 A ∩ B 中元素的个数为【 】
4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动, 每名同学只去 1 个小区, 每个小区至少安排 1 名学生, 则不同的安排方法有种
(x2 + 2/x)6 的展开式中常数项是 (用数字作答).
6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者, 每名同学只去 1 个场馆, 甲场馆安排 1 名, 乙场馆安排 2 名, 丙场馆安排 3 名, 则不同的安排方法共有【 】
从 6 个人中挑选 4 个人去值班, 每人最多值班一天, 第一天需要 1 个人, 第二天需要 1 个人, 第三天需要 2 个人, 则有 种排法.
二项展开式 (1 + 2x)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5, 则 a4 = , a1 + a3 + a5 = .
在 A , B , C , D 四位候选人中：1．如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．2．如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．