证 明 题（数学·2022年7月·国际数学奥林匹克）

Find all the groups of positive integers (a,b,p) satisfying p is a prime number and a^p=b!+p.

译文：

求所有正整数组(a,b,p)，满足：p为素数且a^p=b!+p.

解答提示

(1)若b<p，则(b!,p)=1，于是1~b中质数均不整除b!+p，从而a>b，于是ap-p≥(b+1)p-p>bp>b!，矛盾，故b≥p,p|(b!+p)，即p|a.又p>1，所以vp (b!)=1，从而b<2p.(2)若 a≠p，则(a/p)p pp-1=[1+(p-1)(p+1)⋯b]，从而(a/p,(p-1)!)=1，从而a/p≥p.但b!+p≤(2p-1)!+p<(2p∙1)(2p∙2)⋯[(p+1)(p-1)]<(p2 ...

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