证 明 题（数学·2022年7月·国际数学奥林匹克）
Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x.
译文：
给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明：至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周，且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .
解答提示
对|S|=n归纳证明.当n=2时，成立；假设n≤m时成立，则n=m+1时：(1)设S={p1<p2<⋯<pm+1 },pi pj=x2+x+k⟺4pi pj=2(2x+1)2+4k-1，记t=4k+1.(2)若当4pm+1 pi=a2+t，由pi≠pj<pm+1知a,b<2pm+1均为奇数，4p...
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