证 明 题（数学·1990年·全国统考）

设f(x)=lg (1+2^x+⋯+(n-1)^x+n^x a)/n,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2.

(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围；

(Ⅱ)如果a∈(0,1]，证明：2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

解答提示

(Ⅰ)f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+⋯+(n-1)x+nx a>0,x∈(-∞,1],n≥2,即a>-[(1/n)x+(2/n)x+⋯+((n-1)/n)x],x∈(-∞,1] ①因为(k/n)x(k=1,2,…,n-1)在(-∞,1]上都是增函数，所以-[(1/n)x+(2/n)x+⋯+((n-1)/n)x]在(-∞,1]也是增函数，从而它在x=1时取得最大值-(1/n+2/n+⋯+(n-1)/n)==-1/2(n-1).因此，①式等价于a>-1/2(n-1).也就是a的取值范围为{a|a>-1/2(n-1)}.(Ⅱ)2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x≠0,即[1+2x+⋯+(n-1)x+nx a]2<n[1+22x+⋯+(n-1)2x+n2x a] a∈(0,1],x≠0 ②用数学归纳法证明②式.(i) 先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2∙2x+22x a2≤2(1+22x a2 )<2(1+22x a).假如a=1,x≠0，因为1≠2x，所以(1+2x)2=1+2∙2x+22x<2(1+2...

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