证 明 题（数学·1984年·全国统考）

设a>2，给定数列{x_n},其中x₁ = a,x_n+1=(x_n²)/(2(x_n-1))  (n=1,2,…),求证：

(1) x_n>2,且x_n+1/x_n < 1(n=1,2,…);

(2) 如果a≤3,那么x_n ≤ 2+1/2^n-1 (n=1,2,…);

(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时，必有x_n+1<3.

解答提示

(1) 先证明xn>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件a>2及x1=a知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知xk+1>2⇔xk2-4xk+4>0⇔(xk-2)2>0,再由归纳假设知不等式(xk-2)2>0成立.从而不等式xn>2对所有的正整数n成立.也可以这样证：由已知条件, xk+1=1/2 [(xk-1)+1/(xk-1)+2]>1/2 (2+2)=2.所以不等式xn>2(n=1,2,…)成立.再证明xn+1/xn <1(n=1,2,…).由条件xn>2(n=1,2,…)知xn+1/xn <1⇔xn/(2(xn-1))<1⇔xn>2.因此不等式xn+1/xn <1(n=1,2,…)也成立.(2) 用数学归纳法.由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及xk>2知xk+1≤...

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