证 明 题（数学·2020年9月·国际数学奥林匹克）

证明：存在正常数c具有卜述性质：对任意整数n>1，以及平面上n个点的集合 S ，若 S中任意两点之间的距离不小于 1 ，则存在一条分离 S 的直线l , 使得 S 中的每个点到直线的距离不小于cn^-1/3 . （我们称直线l分离点集 S , 如果某条以S中两点为端点的线段与l相交．)

注．如果证明了比cn^-1/3 弱的估计cn^-α ，会根据α>1/3 的值，适当给分．

(中国台湾供题) 

解答提示

我们证明c=1/16满足要求.记δ=cn-1/3．对平面上有限点集S以及直线 l ，记δ(S,l)为 S 中点到l距离的最小值．反证法，假设结论不成立，则存在平面上n个点的集合S,n≥2，使得对任意分离 S 的直线l，均有δ(S,l)<δ．取 S 中距离最大的两点A，B，设d=|AB|，显然，d≥1．以A为原点，为x轴正方向，建立直角坐标系．设 S 中点的横坐标从小到大依次为 d1≤d2≤⋯≤dn，由于 S 中所有点落在下面两个闭圆盘D_A、和 D_B 的交集中，DA={P∈R2:|PA|≤d} , DB={P∈R2:|PB|≤d}S中所有点的横坐标都在区间[0,d]中，因此 d1=0 ,dn=d. 若存在1≤i≤n-1，使得di+1-di≥2δ，则直线 l:(di+di+1)/2分离 S ，且 δ(S,l)≥δ，与反证法假设矛盾．所以对任意1≤i≤n-1，均有di...

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