证 明 题（数学·2022年·新高考Ⅰ）

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好 良好

病例组 40 60

对照组 10 90

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(P(B|A))/(P(B ̄|A))与(P(B|A ̄))/(P(B ̄|A ̄))的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：R=P(A|B)/P(A ̄|B)⋅P(A ̄|B ̄)/P(A|B ̄)；

（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B ̄)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附：K²=n(ad-bc)²/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，

P(K²≥k) 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

解答提示

（1）由已知K2=(n(ad-bc)2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))=200(40×90-60×10)2/(50×150×100×100)=24，又P(K2≥6.635)=0.01，24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为R=P(B|A)/P(B ̄|A)⋅P(B ̄|A ̄)/P(B|A ̄)=P(AB)/P(A)⋅P(A)/P(AB ̄)⋅P(A ̄B ̄)/P(A ̄)...

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