证 明 题（数学·2022年8月2日·东南地区）
如图所示，在锐角△ABC中，AB>AC，H是垂心，AM是中线，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于F.点D在BC边上，满足∠CAD=∠BAM且∠ADH=∠MAH，证明：EF平分线段AD.
解答提示
记△ABC，△HBC的外接圆分别为圆O，圆P，由三角形垂心性质知，圆O、圆P关于点M对称.设AM的延长线与圆P相交于点N，连接HN，BN，CN，则AM=MN.从而四边形ABNC为平行四边形因此BN⊥BE，点P在HN上.又OP//AH且OP=AH， 所以HP//AO，即HN//AO. 易知∠BAO=∠CAH又∠BAM=∠CAD，所以∠OAM=∠HAD从而∠ADH=∠MAH=∠DAO，因此HD//OA，即点D在HN上.设AD的延长线与圆O相交于点G，则AD•DG=BD•DC=HD•DN，所以A、N、G、H四点共圆.因此∠AGH=∠ANH=∠OAM=∠GAH，又OA=OG，所以AD⊥OH.设AD、EF相交于点T，直线EF、BC相交于点K，由题设知B、C、E、 F四点共圆。所以∠BAO=90°-∠...
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埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 【】
已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【 】。
已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO1，则球 O 的表面积为 【 】
设 a, b 为单位向量, 且 |a + b| = 1, 则 |a − b| =.
已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 .
如图, 在三棱锥 P − ABC 的平面展开图中, AC = 1, AB = AD = , AB ⊥ AC, AB ⊥ AD,cos ∠CAE = 30◦, 则 cos ∠FCB = .
已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = , b = .
如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点 . 求证：(1) CD=CM=CN；(2) CD2=AM•BN.
设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A ，与 CF 的延长线相交于点 B . 求证：BF/AE=BC3/AC3 .
半径为 1 , 2 , 3 的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．
如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.
已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB·AD.
如图，已知正方形ABCD的边CD上任意一点E.延长BC到F，使CF=CD.设BE与DF相交于G，求证：BG⊥DF.