2000年全国统考高考试题-几何-解析几何-空间解析几何

证明题（数学·2000年·全国新课程）

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

(Ⅰ)证明：C₁C⊥BD.

(Ⅱ)假设CD=2,CC₁=3/2,记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.

(Ⅲ)当CD/CC₁ 的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明.

解答提示

(I)连接A1 C1，AC,AC和BD相交于O,连接C1 O. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,BC=CD.又∵∠BCC1=∠DCC1,C1 C=C1 C,∴△C1 BC≅△C1 DC,∴C1 B=C1 D,∵DO=OB,∴C1 O⊥BD, 但AC⊥BD,AC∩C1 O=O,∴BD⊥平面AC1.又C1 C⊂平面AC1,∴C1 C⊥BD.(II) 由（I）知AC⊥BC,C1 O⊥BD,∴∠C1 OC是二面角α-BD-β的平面角.在△C1 BC中，BC=2,C1 C=3/2,∠BCC1=60°,∴C1 B2=22+(3/2 )2-2×2×3/2×cos⁡60°=13/4.∵∠OCB=30°,∴OB=1/2 BC=1,∴C1 O2=C1 B2-...

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几何

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为【】

已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO1，则球 O 的表面积为【】

如图, 在三棱锥 P − ABC 的平面展开图中, AC = 1, AB = AD = , AB ⊥ AC, AB ⊥ AD,cos ∠CAE = 30◦, 则 cos ∠FCB = .

已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC = AC = OO1，则球 O 的表面积为【】

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, △ABC 是底面的内接正三角形, P 为 DO 上一点, ∠APC = 90°.(1) 证明: 平面 PAB ⊥ 平面 PAC;(2) 设 DO = , 圆锥的侧面积为π, 求三棱锥 P − ABC 的体积.

若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为【】

如图是一个多面体的三视图, 这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M, 在俯视图中对应的点为 N, 则该端点在侧视图中对应的点为【】

设O为坐标原点, 直线x = a与双曲线 C : x2/a2 - y2/b2 =1(a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别交于 D, E 两点. 若△ODE的面积为8, 则 C 的焦距的最小值为【】

已知 △ABC 是面积为(9)/4 的等边三角形, 且其顶点都在球 O 的球面上, 若球 O 的表面积为 16π, 则 O到平面 ABC 的距离为【】

己知单位向量 a, b 的夹角为 45°, ka − b 与 a 垂直, 则 k = .

解析几何

已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【】。

已知 ⊙M : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0，直线 l : 2x + y + 2 = 0, P 为 l 上的动点. 过点 P 作 ⊙M 的切线PA, PB, 切点为 A, B, 当 |PM| · |AB| 最小时, 直线 AB 的方程为【】

设 a, b 为单位向量, 且 |a + b| = 1, 则 |a − b| =.

已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 .

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.

已知圆 x2 + y2 −6x = 0, 过点 (1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为【】

设 F1, F2 是双曲线 C : x2 −y2/3 = 1 的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且 |OP| = 2, 则 △PF1F2 的面积为【】

设向量 a = (1, −1), b = (m + 1, 2m − 4), 若 a ⊥ b, 则 m = .

△ABC 的内角为 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 B = 150◦.(1) 若 a = c, b = 2, 求 △ABC 的面积;(2) 若 sin A + sin C =/2 , 求 C.

空间解析几何

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = DO.(1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6, AO//平面 EB1C1F , 且 ∠MPN = π/3 , 求四棱锥 B −EB1C1F 的体积.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 当 AB = BC 时, EF ⊥ AC;(2) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内;(2) 若 AB = 2, AD = 1, AA1 = 3, 求二面角 A − EF − A1 的正弦值.

日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球 (球心记为 O) , 地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角, 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面. 在点 A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点 A 处的纬度为北纬 40°, 则晷针与点 A 处的水平面所成角为【】

如图, 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, E 为 BB1 的中点.(I) 求证: BC1 // 平面 AD1E;(II) 求直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值.

如图, 在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, CC1⊥平面 ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2, CC1 = 3, 点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上, 且 AD = 1, CE = 2, M 为棱 A1B1 的中点.(I) 求证: C1M ⊥ B1D;(II) 求二面角 B − B1E − D 的正弦值;(III) 求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值.

已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 绕其中一条轴 AB 旋转成一个圆柱.(1) 求该圆柱的表面积;(2) 将 DC 旋转 90° 至 C1D1, 求线 C1D 与平面 ABCD 的夹角.

如图, 三棱台 ABC − DEF 中, 平面 ACFD ⊥ 平面 ABC, ∠ACB = ∠ACD = 45°, DC = 2BC.(I) 证明: EF ⊥ DB;(II) 求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值.