证 明 题（数学·2023年·北京市）

已知数列{a_n },{b_n}的项数均为m(m>2)，且a_n,b_n∈{1,2,⋯,m},{a_n },{b_n}的前n项和分别为A_n,B_n，并规定A₀=B₀=0.对于k∈{0,1,2,⋯,m}，定义r_k=max⁡{i|B_i≤A_i,i∈{0,1,2,⋯,m}}，其中maxM表示数集M中最大的数.

(1)若a₁=2,a₂=1,a₃=3,b₁=1,b₂=3,b₃=3，求r₀,r₁,r₂,r₃的值；

(2)若a₁≥b₁,2r_j≤r_j+1+r_j-1,j=1,2,⋯,m-1，求r_n；

(3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q,s>t，使得A_p+B_t=A_q+B_s.

解答提示

(1)由题意知：A0=0,A1=2,A2=3,A3=6,B0=0,B1=1,B2=4,B3=7，当k=0时，B0=A0=0,Bi>A0,i=1,2,3，故r0=0；当k=1时，B0<A1,B1<A1,B2>A1,B3>A1,故r1=1；当k=2时，B0<A2,B1<A2,B2>A2,B3>A2，故r2=1；当k=3时，Bi≤A3,i=0,1,2,B3>A3，故r3=2；综上所述：r0=0,r1=1,r2=1,r3=2.(2)由题意知：rn≤m,rn∈N,∵an≥1,bn≥1，∴An≥a1=1,Bn≥b1=1，当且仅当n=1时等号成立，∴r0=0,...

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