证 明 题（数学·2014年·广东省深圳市）

如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C(0，-4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为 E，与y 轴的交点记为F,

①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；

②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则△EFG的面积与△ACD的面积是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标.

解答提示

(1)根据题意，直线AB的解析式为y=2x+4,令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2，∴A(-2,0),B(0,4).根据A为抛物线的顶点，设抛物线的方程为y=a(x+2)²,将点C(0,-4)代入上式，可得a=-1，∴抛物线的方程为：y=-(x+2)².(2)设点E在平移过程中的坐标为(m,2m+4)，则平移后抛物线的解析式为：y=-(x-m)²+2m+4,∴F(0,-m²+2m+4).①∵E为抛物线的顶点，∴∠BEF≥90°,若△BEF∼△BAO，则∠BEF=90°,∴OA/EF=OB/BE，即2/EF=4/BE，可得BE=2EF.如图，过点E作EH⊥y轴于点H，则H的坐标为：H(0,2m+4)，∴BH=|2m|,FH=|m² |.在Rt△BEF中，由射影定理得：BE²=BH⋅BF,EF²=FH⋅BF，∵BE=2EF,∴BH=4FH，即|2m|=4|m² |，若2m=-4m²，解得m=-1/2或m=0(与点B重合，舍去)；若2m=4m²，解得m=1/2或m=0(与点B重合，舍去)，此时点E位于第一象限，∠BEF为锐...

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