计 算 题（数学分析·2022年·天津大学）

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x²)) dx,a>0.

解答提示

∵arctan⁡(ax)/(x(1+x2))=a，∴0不是瑕点.令arctan⁡(ax)/(x(1+x2))|x=0=a，则被积函数在[0,+∞)上连续.被积函数对a求偏导得，∂(arctan⁡(ax)/x(1+x2) )/∂a=1/(1+a2x2)(1+x2) ,在a>0,x≥0的区域连续.下面证明I(a)收敛.∵arctan⁡(ax)/(x(1+x2))≤π/(2x(1+x2)),且π/(2x(1+x2)) dx收敛，∴(arctan⁡(ax))/(x(1+x2)) dx收敛，...

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