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证 明 题（数学分析·2022年·武汉大学）
已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p
证明：
Ip(u)=
解答提示
对Ip (u)作恒等变换：Ip (u)=(∭Ωup dxdydz)1/p=下面考虑1/p ln(∭Ωup dxdydz)的极限.一般地，对于lnx，有(lnx)'=1/x,(lnx)''=-1/x2 <0,将lnx在x0处展开：lnx=lnx0+1/x0 (x-x0 )-1/(2!ξ2 ) (x-x0 )2,ξ介于x与x0之间，故：lnx≤lnx0+1/x0 (x-x0) ①记x=up,x0=∭Ωup dxdydz，代入①式得：lnup≤lnx0+1/x0 (up-x0)，两边同时积分得：∭Ωlnup dxdydz≤ln(∭Ωup dxdydz)+1/x0 (∭Ωup dxdydz-∭Ωup dxdydz...
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设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).
已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=。
设Σ为空间区域{(x,y,z)|x2 + 4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分∬Σx2dydz + y2dzdx + z2dxdy=.
设D⊂R2是有界单连通闭区域，I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算，其中∂D1是D1的正向边界.
f(x)满足∫f(x)/dx = 1/6·x2 - x + C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A.