证 明 题（数学·2022年·天津市）

已知抛物线y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A(-1,0)和点B.

(I)若b=-2,c=-3，

①求点P的坐标;

②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M,G的坐标;

(Ⅱ)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E,F的坐标.

解答提示

(I)①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0)，∴a-b+c=0.又b=-2,c=-3，得a=1.∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴点P的坐标为(1,-4).②当y=0时，由x2-2x-3=0解得x_1=-1,x_2=3，∴点B的坐标为(3,0).设经过B,P两点的直线的解析式为y=kx+n，则，解得，∴直线BP的解析式为y=2x-6.∵直线x=m（m是常数，1<m<3）与抛物线y=x2-2x-3相交于点M，与BP相交于点G，∴点M的坐标为(m,m2-2m-3)，点G的坐标为(m,2m-6)，∴MG=(2m-6)-(m2-2m-3)=-m2+4m-3=-(m-2)2+1，∴当m=2时，MG有最大值1.此时，点M,G的坐标分别为(2,-3),(2,-2).(Ⅱ)由(I)知a+b+c=0，又3b=2c，∴b=-2a,c=-3a.(...

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