证 明 题（数学分析·2022年·北京理工大学）
已知幂级数
(-1)nn(n+1) xn .
(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；
(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .
解答提示
(1) ρ===1,所以，收敛半径R=1.当x=1时，(-1)n n(n+1)发散，当x=-1时，n(n+1)发散，所以，级数的收敛区间为(-1,1).令x=-t，有：(-1)n n(n+1) xn =n(n+1) ...
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函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.
设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.
设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【 】
设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=.
已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= .
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
当x→0时，x-sinxcosxcos2x与cx4为等价无穷小，则c=，k=.
当x→0时，1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 .
设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.
设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【 】
设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【 】
设un(x) = e-nx + xn+1 (n=1,2,…)，求级数un(x)的收敛域和函数.
设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【 】
设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.
函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。