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证 明 题（数学分析·2022年·中国科学院）
求证：J=
ln(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.
解答提示
∵lim┬(x→0+ )√x ln(sinx)=0，∴J收敛.同理，ln(cosx) dx收敛.令t=π/2-x，则ln(cosx) dx=-ln(cos(π/2-t)) dt=ln(sint) dt=J2J=[ln(cosx)+ln(sinx) ]dx=ln(1/2 sin2x)dx=...
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设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).
已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=。
设Σ为空间区域{(x,y,z)|x2 + 4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分∬Σx2dydz + y2dzdx + z2dxdy=.
设D⊂R2是有界单连通闭区域，I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算，其中∂D1是D1的正向边界.
已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=.
f(x)满足∫f(x)/dx = 1/6·x2 - x + C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A.