证 明 题（数学·2020年·上海市）

已知有限数列 {a_n} 项数为 m, 若其满足: |a₁ − a₂| ⩽ |a₁ − a₃| ⩽ · · · ⩽ |a₁ − a_m|, 则称数列 {a_n} 满足性质 P .

(1) 判断数列 3, 2, 5, 1 和数列 4, 3, 2, 5, 1 是否具有性质 P ;

(2) 已知 a₁ = 1, 公比为 q 的等比数列, 项数为 10, 具有性质 P , 求 q 的取值范围;

(3) 若 a_n 是 1, 2, 3, · · · , m (m ⩾ 4) 的一个排列, b_k = a_k+1 (k = 1, 2, 3 · · · , m − 1), 数列 {a_n}, {b_n} 都具有性质 P , 求所有满足条件的 {a_n}.

解答提示

(1) 对于第一个数列有 |2 − 3| = 1, |5 − 3| = 2, |1 − 3| = 2, 满足题意, 所以数列 3, 2, 5, 1 具有性质 P .对于第二个数列有 |3 − 4| = 1, |2 − 4| = 2, |5 − 4| = 1, 不满足题意, 所以数列 4, 3, 2, 5, 1 不具有性质 P .(2) 当 q > 0 时, 明显具有性质 P .由题意得 |qn − 1| ⩾ |qn−1 − 1 |, n ∈ {2, 3, · · · , 9}. 两边平方得 qn − 2qn + 1 ⩾ q2n−2 − 2qn−1 + 1, 整理得(q − 1)qn−1[qn−1(q + 1) − 2] ⩾ 0.当 −1 ⩽ q < 0 时, qn−1[qn−1(q + 1) − 2] ⩽ 0.当 n 为奇数时, qn−1(q + 1) − 2 ⩽ 0, 很明显成立; 当 n 为偶数时, qn−1(q + 1) − 2 ⩾ 0, 很明显不成立.所以, 当 −1 ⩽ q < 0 时, 矛盾, 舍去.当 q < −1 时, qn−1[qn−1(q + 1) − 2] ⩽ 0.当 n 为奇数时， qn−1(q + 1) − 2 ⩽ 0, 很明显成立; 当 n 为偶数时，要使 qn−1(q + 1) − 2 ⩾ 0 恒成立.所以, 等价于 n = 2 时, q(q + 1) − 2 ⩾ 0, (q + 2)(q − 1) ⩾ 0. 所以 q ⩽ −2 或 q ⩾ 1, 所以取 q ⩽ −2 .综上, q ∈ (−∞, −2] ∪ (0, +∞).(3) 设 a1 = p, p ∈ {3, 4, · · · , m − 3, m − 2}.因为 a1 = p, a2 可以取 p − 1 或 p + 1, a3 可以取 p − 2 或 p + 2.如果 a2 或 a3 取了 p − 3 或 p + 3, 将使 {an} 不满足性质...

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