证 明 题（数学·2020年·天津市）

已知 {a_n} 为等差数列, {b_n} 为等比数列, a₁ = b₁ = 1, a₅ = 5(a₄ − a₃), b₅ = 4(b₄ − b₃).

(I) 求 {a_n} 和 {b_n} 的通项公式;

(II) 记 {a_n} 的前 n 项和为 S_n, 求证: S_nS_n+2 < S_n+1² (n ∈ N^∗);

(III) 对任意的正整数 n, 设 c_n = .求数列 {c_n} 的前 2n 项和.

解答提示

(I) 设等差数列 {an} 的公差为 d, 等比数列 {bn} 的公比为 q.由 a1 = 1, a5 = 5(a4 − a3), 可得 d = 1, 从而 {an} 的通项公式为 an = n.由 b1 = 1, b5 = 4(b4 − b3), 又 q≠ 0, 可得 q2 − 4q + 4 = 0, 解得 q = 2, 从而 {bn} 的通项公式为 bn = 2n−1.(II) 由 (I) 可得 Sn=n(n+1)/2 , 故 SnSn+2=1/4 n(n+1)(n+2)(n+3) , Sn+12=1/4 (n+1)2 (n+2)2 , 从而Sn Sn+2-Sn+12=-1/2 (n+1)(n+2)<0 所以, Sn Sn+2<Sn+12.(III) 当 n 为奇数时,cn=((3an-2)bn)/(anan+2) = = 2n+1/(n+2) - 2n-1/n当 n 为偶数时, cn=...

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