2021年全国高中数学联赛竞赛试题-数系-整数

证明题（数学·2021年·全国高中数学联赛）

给定正整数k(k≥2)与k个非零实数a₁,a₂,⋯,a_k.证明：至多有有限个k元整数组(n₁,n₂,⋯,n_k)，满足n₁,n₂,⋯,n_k互不相同，且a₁∙n₁ !+a₂∙n₂ !+⋯+a_k∙n_k !=0.

解答提示

证明过程见word版

竞赛

设集合 A ={x | x2 −4 ⩽ 0},B ={x | 2x + a ⩽ 0}, 且 A∩B ={x |−2 ⩽ x ⩽ 1}, 则 a =【】

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为【】

已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【】。

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x (单位: °C) 的关系, 在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验, 由实验数据 (xi, yi) (i = 1, 2, · · · , 20) 得到下面的散点图:由此散点图, 在 10°C 至 40°C 之间, 下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是【】。

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = cos (ωx + π/6 ) 在 [−π, π] 的图像大致如下图, 则 f(x) 的最小正周期为【】。

的展开式中 x3y3 的系数为【】

已知 α ∈ (0, π), 且 3cos2α − 8cosα = 5, 则 sinα =【】

已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO1，则球 O 的表面积为【】

已知 ⊙M : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0，直线 l : 2x + y + 2 = 0, P 为 l 上的动点. 过点 P 作 ⊙M 的切线PA, PB, 切点为 A, B, 当 |PM| · |AB| 最小时, 直线 AB 的方程为【】

数系

若 z = 1 +i，则|z2 −2z| =【】

若 z = 1 + 2i+i3, 则|z| =【】

设复数 z1, z2 满足 |z1| = |z2| = 2, z1 + z2 = + i , 则 |z1 − z2| =.

2020年新高考Ⅱ高考试题1734

若(1 + i) = 1 − i, 则 z =【】

复数1/(1-3i) 的虚部是【】

(2-i)/(1+2i) =【】

在复平面内, 复数 z 对应的点的坐标是 (1, 2), 则 i · z =【】

i 是虚数单位, 复数 (8-i)/(2+i) = .

已知 z = 1 − 2i, 则 |z| =.

整数

一个分数的分子与分母之和为 38，其分子和分母都减去15，约分后得到1/3，则这个分数的分母与分子之差为【】

若整数m=paqbrc，其p,q,r为质数(primes), 试求m所有约数之个数.

将 81 分为两整数，其一为 8 之倍数，其他为 5 之倍数.

表通常十进数 345 为二进数

加法及乘法之交换律，结合律，分配律如何？

在 1,2,···,99,100 一百个数内任意选出五十一个数，证明在此五十一个数内恒可以找到二个数，其中一个数为另一个数的倍数.

有连续三整数，其平方和为 50，求此三数.

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.

Determine all composite integers n>1 that satisfy the following property：if d1,d2,⋯,dk are all the positive divisors of n with 1=d1<d2<⋯<dk=n, then di divides di+1+di+2 for every 1≤i≤k-2.译文：设1=d1<d2<⋯<dk=n是合数n的全部正因数，若对任意1≤i≤k-2，有di |di+1+di+2，求n.