证 明 题（数学·2023年·北京市）
求所有不超过100的正整数k，使得存在整数n，满足：k|(3n6+26n4+33n2+1)
解答提示
说明：为减少计算量，同时不失考查知识点，该参考解答将题目中的“正整数”改为“合数”。设f(n)=3n6+26n4+33n²+1，考虑k的质因子p.(1)由f(n)≡n+0+n+1≡1(mod 2)，知p≠2.(2)由f(1)=63=3²×7，知p=3,7.(3)由f(n)≡3n²+n4+3n²+1=(n²+3)²-8≡1或3(mod 5)，知p≠5.(4)由f(n)≡3n6+4n4+1(mod 11)，及模11的平方剩余为0,1,-2,3,4,5(mod 11)，知p≠11.(5)由f(2)=741=3×13×19，知p=13,19.(6)由f(n)≡3n6+9n4-n²+1(mod 17)，及模17的平方剩余为0,±1,±2,±4,±8(mod 17)，知p≠17.(7)由f(n)≡3n6+3n4+10n²+1(mod 23)，及模23的平方剩余为0,1,2,3,4,-5...
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设集合 A ={x | x2 −4 ⩽ 0},B ={x | 2x + a ⩽ 0}, 且 A∩B ={x |−2 ⩽ x ⩽ 1}, 则 a =【】
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 【】
已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【 】。
函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
设函数 f(x) = cos (ωx + π/6 ) 在 [−π, π] 的图像大致如下图, 则 f(x) 的最小正周期为【 】。
已知 α ∈ (0, π), 且 3cos2α − 8cosα = 5, 则 sinα =【 】
已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO1，则球 O 的表面积为 【 】